8: Un examen muy friki

1: INTRODUCCIÓN

Entre los profesores de la UPC (Universidad Politécnica de Cataluña) hay un buen porcentaje de adictos confesos a la ciencia ficción. Tal vez por eso, dicha universidad organiza el PREMIO UPC DE NOVELA CORTA DE CIENCIA FICCIÓN, cuyo jurado está compuesto por profesores de la misma; en concreto, tres físicos, un matemático y un ingeniero con doble doctorado, en computación y en astronáutica.
No es de extrañar que fuese precisamente en la UPC, allá por el 2009, donde los alumnos de Física I se encontraron este maravilloso enunciado en el examen de Física Relativista. El profesor “culpable” lleva décadas usando novelas y películas de ciencia ficción como parte del instrumental de enseñanza. Posiblemente, es el enunciado más friki de la historia.

2: ENUNCIADO DEL EXAMEN

El pobre Chewbacca lleva unos días traumatizado. En una estación espacial encontró un libro de relatividad especial y descubrió que las leyes físicas prohíben los viajes a velocidades superiores a la de la luz. Vamos, que el salto hiperespacial es un timo. Cuando el capitán Solo se entera no atiende a razones. Dentro de poco han de pasar la ITV, le pedirán la velocidad punta de la nave y se acaba de dar cuenta de que si responde que supera la velocidad de la luz se reirán de él. El problema es que la documentación técnica del Halcón Milenario desapareció durante el último brote de gastroenteritis en la nave, de forma que no pueden consultar los manuales. El capitán Solo, con su habitual diplomacia, exige a Chewbacca que descubra la velocidad punta de la nave en un fin de semana o lo esquilará como a una oveja.
Chewbacca estudia el manual de los destructores imperiales y lee que su velocidad de crucero es v=c/5. La última vez que huyeron de un destructor imperial, el radar marcaba una velocidad relativa de 4c/5.

1.- Calcula la velocidad punta del Halcón Milenario.

Ya más tranquilo, Chewbacca sigue aprendiendo relatividad y se da cuenta del fenómeno de las contracciones y dilataciones de longitud. Reflexiona que las cartas de navegación de la nave se tendrían que retocar.

2.- Si para ir desde el sistema Hoth al sistema Dagobah necesitaban viajar una hora, determina cuál es la distancia estelar entre estos dos sistemas.

                                                      

Chewbacca, en la estación de Motcada y Reixac, 

reflexionando sobre el espacio y el tiempo. 
Entre las manos (el pelo lo tapa) 

lleva el libro de relatividad especial.

Finalmente, leyendo el capítulo sobre dilatación temporal, se queda consternado al darse cuenta de que prometió a su familia una visita anual.

3.- Si lleva 9 meses viajando a una velocidad media de v=3c/4, determina cuánto tiempo lleva su familia esperándole.

Observaciones finales: El Halcón Milenario no pasó la ITV. La protectora de animales impidió que Chewbacca perdiera su lograda melena; aún así, no pudieron evitar que su padre lo desheredara. Poco tiempo después, el libro de relatividad especial siguió el mismo fin que el manual técnico del Halcón.


3: RESOLUCIÓN DEL EXAMEN

Si está mal, la culpa es absolutamente mía, no de Einstein ni de Lorentz, que en eso no hay relativismo que valga. Es más, si alguien afirma “Todo es relativo”, concluimos con certeza absoluta que no ha entendido los trabajos de Einstein sobre relatividad.


CUESTIÓN 1

En física newtoniana, si un móvil me persigue con velocidad v_perseguidor  y yo me escapo con velocidad v_propia, la velocidad relativa con que lo veo en mi radar es

A velocidades cercanas a la de la luz, dicha fórmula nos daría un gran error. En este caso, nos daría v_propia=c, lo cual es imposible porque para ello o bien la masa de la nave debería ser cero o bien infinita la energía que aportan sus motores.
Para velocidades relativistas, debe aplicarse la fórmula de Lorentz:

que, adaptada a nuestro problema, quedaría

Sustituyendo los datos, queda:

Despejando,

de donde

De la Tierra a Marte en lo que cuesta tirar una pinta de Guinness.
O (nunca es tarde para intentar asimilar lo grande que es la Vía Láctea) ciento setenta y cinco milenios para cruzarla de extremo a extremo, medidos desde la Tierra. Queda demostrado que “La guerra de las galaxias” no pasa de ser “La guerra en un pequeño rincón de una única galaxia”. El original inglés, “Star wars”, era más modesto.


CUESTIÓN 2

Si viajando a velocidad 25c/29, hemos medido 1 hora para ir de Hoth a Dagobah, la distancia entre dichos sistemas aparenta ser 6’14UA, o sea 922 millones de kilómetros. Pero esa no es la distancia estelar. En la hora que invierte el Halcón en ir de Hoth a Dagobah, un observador terrestre habría medido un tiempo t > 1 hora.
Para calcular dicho tiempo, calculamos el coeficiente de transformación de Lorentz,

Por tanto,

t_{observador terrestre} = 1:0’507 = 1’972 h = 1 hora 58 minutos 21 segundos.

Como la velocidad de la nave es 6’14 UA/h, medido desde la Tierra el espacio recorrido habrá sido 6’14.1’972=12’11 UA. Por tanto, la distancia estelar entre el sistema Hoth y el sistema Dagobah – la que medimos desde un sistema en reposo respecto a ambos – es 12’11 UA, o sea 1.815 millones de kilómetros. Esa es la distancia que debería constar en las cartas de navegación.


CUESTIÓN 3

A velocidad 3c/4, resulta γ=0'66. Por tanto, si en el interior del Halcón Milenario han pasado 9 meses, en la Tierra han pasado 9:0’66=13’606 meses; 13 meses y 18 días.
Chewbacca – podemos estar absolutamente seguros – no va a llegar a tiempo de cumplir su promesa.
Por idéntico razonamiento, los 175.000 años que necesita el Halcón Milenario para cruzar la Vía Láctea a velocidad máxima, medidos dentro de la nave sólo son 88.800. Flaco consuelo.