3: El problema del quitanieves

La primera versión del problema del quitanieves 

la inventó Ralph Palmer Agnew (1900-1986), 

matemático de la Cornell University, New York.

Si a alguien le gusta esta entrada, 

que me aplauda un poquito a mí y mucho a él.

Empezamos.

Existen problemas físico-matemáticos muy fáciles de resolver, por ejemplo este: "Calcular cuántas calorías desprende una resistencia de 100 Ω, si circula por ella 1 A durante cinco minutos". 

Es muy fácil porque basta con saberse la fórmula correspondiente Q=I².R.t, y tener cuidado con las unidades. Como el tiempo debe expresarse en segundos, tenemos 

                 Q=1.100.300=30.000 Julios=3.10⁴ J.

 y como la solución nos la piden en calorías, nos queda 

                   Q=0’24.3.10⁴=7’2.10³ cal.

Otros problemas, en cambio, no son nada fáciles. No lo son porque no hay fórmula a la que podamos acudir, para sustituir los datos en ella. En lugar de eso, si queremos resolverlos, debemos pararnos a pensar. De ahí que se aprenda diez veces más resolviendo uno de estos que resolviendo mil como el anterior. Uno de mis ejemplos favoritos de "Problemas que obligan a pensar" es el problema de la máquina quitanieves. Dice así:

     "Nevaba de forma constante y uniforme. 
     Para retirar la nieve acumulada en una carretera recta y horizontal, 
     un quitanieves con una pala de anchura a metros, 
     empezó a trabajar a las 12.00 horas. 
     En la primera hora, limpió dos kilómetros. 
     En la segunda hora, limpió uno. 
     ¿A qué hora había empezado a nevar?"

Lo primero que uno debe hacer es reponerse de la sorpresa. Y luego pensar. Que no mata.


SOLUCIÓN


PRIMERO

Empecemos por hacer  una suposición razonable: el volumen de nieve retirado por unidad de tiempo es constante, de modo que cuanto mayor es el espesor de nieve acumulado, más lento avanza la máquina (nos lo confirma el enunciado). Así que nuestra ecuación de partida será

donde

a: anchura de la pala quitanieves (constante)

x: espesor de nieve acumulada (variable creciente)

v: velocidad de avance de la máquina (variable decreciente)

k: ritmo de retirada de la nieve.

Con las unidades que nos propone el enunciado [km, h] comprobamos que la ecuación sea homogénea, esto es, que tenga las mismas unidades a izq y dcha:

SEGUNDO

La letra v sólo tiene derecho a estar presente en una fórmula cuando es constante; como en nuestro problema la velocidad es variable, deberemos escribir en lugar de la letra v su concepto, o sea, la derivada del espacio recorrido respecto al tiempo transcurrido. Si al espacio recorrido por la máquina quitanieves lo designamos con la letra y nuestra ecuación queda así:

Como la x también es variable, deberemos escribir en su lugar la función que nos establezca su dependencia respecto al tiempo. Llamando s al ritmo al que está nevando [constante porque lo dice el enunciado], o sea, a los km/h que aumenta el espesor de la nieve, tenemos que x=s.t

                        

Y nuestra ecuación de partida nos queda

                               

TERCERO

Hay que decidir dónde ponemos el contador de tiempo a cero. Ralph Palmer Agnew resolvió la primera versión de este problema poniendo el origen de tiempos a las 12.00, de modo que el problema nos pide la concreción de un instante que está en el pasado (tiempo negativo).  Es más intuitivo poner el origen de tiempos en el instante en que empieza a nevar. Desde ese instante hasta las 12.00 habrá pasado un tiempo T, hasta las 13.00 un tiempo T+1 y hasta las 14.00 un tiempo T+2, siendo T lo que se nos pide averiguar. De este modo, todos los tiempos son positivos.

CUARTO

La ecuación (3) es una ecuación diferencial (obvio: contiene una derivada). Deberemos empezar por obtener a partir de ella la correspondiente ecuación lineal. Habrá que integrar.

Despejando la derivada:
             

Integrando:  

Para averiguar el valor de la constante de integración, sabemos que cuando t=T, y=0, de donde:

                         

Así que nuestra ecuación inicial se transforma en 

         
QUINTO

Ahora sí que podemos sustituir los dos datos disponibles: cuando t=T+1, y=2; cuando t=T+2, y=3. Llegamos a este sistema de ecuaciones, realmente precioso:

Despejando la parte constante e igualando, nos queda:

                     

Ahora hay que recordar las propiedades de los logaritmos:

        

El resto tiene poco misterio

Como la solución negativa no tiene sentido físico, nos queda T=0’608 horas.
O sea, T=0 horas 37 min 5 s.

Conclusión: Había empezado a nevar a las 11h 22 min 55 s.

OBSERVACIÓN FINAL

I.- Todo alumno de segundo de bachillerato debería ser capaz de rehacer este desarrollo en un folio en blanco. Si cursa Matemáticas, claro. Y si no las cursa, él se lo pierde. O ella.

II.- En la próxima entrada veremos otro tipo de problema matemático: tiene un montón de soluciones pero es dificilísimo estar seguro de que alguna de ellas - alguna de las que ya ha encontrado alguien - sea la mejor de todas las posibles, la solución óptima. ¿Y si hemos encontrado treinta soluciones pero la óptima todavía está esperando un descubridor que piense en ella?
Para ilustrar ese tipo de problemas veremos uno fascinante: "El problema de los prisioneros y la bombilla".